"A matemática
não é apenas outra linguagem:
é uma linguagem mais o raciocínio;
é uma linguagem mais a lógica;
é um instrumento para raciocinar".
é uma linguagem mais a lógica;
é um instrumento para raciocinar".
Richard P. Feynman
Como surgiu a
matemática?
As origens da matemática perdem-se no tempo. Os mais antigos registos
matemáticos de que se tem conhecimento datam de 2400 a.C. Progressivamente, o
homem foi refletindo acerca do que se sabia e do que se queria saber. Algumas
tribos apenas conheciam o "um", "dois" e
"muitos". Os seus problemas do quotidiano, como a contagem e a medida
de comprimentos e de áreas, sugeriram a invenção de conceitos cada vez mais
perfeitos. Os "Elementos" do grego Euclides (séc. IV a.C.) foram dos
primeiros livros de matemática que apresentaram de forma sistemática a
construção dos teoremas da geometria e foram utilizados no ensino em todo o
mundo até ao século XVII. Mesmo a antiquíssima Astrologia proporcionou o
desenvolvimento da matemática, ao exigir a construção de definições e o rigor
no cálculo das posições dos astros.
A matemática começou por ser "a ciência que tem por objeto a medida e
as propriedades das grandezas" (dicionário), mas atualmente é cada
vez mais a ciência do padrão e da estrutura dedutiva. Como afirmou P. Dirac, as
matemáticas são a ferramenta especialmente adaptada ao tratamento das noções abstratas
de qualquer natureza e, neste domínio, seu poder é ilimitado.
A etnomatemática é um ramo recente da matemática que investiga conhecimentos
matemáticos populares ([p.p. 27-47). E podemos afirmar que todos os povos têm
alguns conhecimentos de matemática, mesmo que sejam muito intuitivos tais como
medições, proporções, desenhos geométricos que se veem no artesanato (como a
cestaria).
A matemática sempre desempenhou um papel único no desenvolvimento das
sociedades (Ap. A). Por exemplo, numa situação de guerra, o exército que
possui mais conhecimentos de matemática tem maior poder traduzido nas máquinas
mais perfeitas e melhor adaptadas.
Até ao séc. XVI apenas as pessoas com dinheiro ou os sacerdotes poderiam
despender tempo no estudo da matemática. De há quatrocentos anos para cá, a
monarquia e o clero deixaram de ser os únicos que financiaram a matemática,
passando este papel a ser desempenhado pelas universidades e pelas empresas
(como por exemplo a IBM). Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não
consiste apenas em demostrar teoremas ou em fazer contas, ela um autêntico
tesouro para a civilização devido aos diversos conhecimentos envolvidos. E
sabendo isso, atualmente poucos são os países em que não se cria matemática
nova, publicando-se assim em todo o mundo alguns milhares de revistas
exclusivamente de matemática.
Onde podemos
encontrar a matemática?
Nos livros, filmes, desenhos, computadores e um pouco por toda a natureza.
Poderemos ver um "segmento de reta" na aresta de um edifício, uma
circunferência vê-se na ondulação da superfície da água quando deixamos cair um
objeto, uma secção da elipse pode ser observada na parede de um poço redondo
iluminado pelo sol, as sombras dos objetos representam figuras geométricas, na
disposição das pétalas de uma flor podem encontrar-se simetrias, o batimento
cardíaco pode ser um exemplo de uma sucessão, o ar move-se num percurso
espiralado, etc. "O estudo aprofundado da natureza é a fonte mais fecunda
das descobertas matemáticas" (Joseph Fourrier). Assim, até parece que
"o universo impôs a matemática à humanidade" (p76).
"Aquela por vezes cristalina [ ...] e por vezes difusa substância [ ...]
que é a matemática" (Imre Lakatos), trata de figuras, sólidos e suas
propriedades na Geometria; sintetiza problemas do comércio, seguros e finanças
através da Álgebra e da Análise; estuda e estrutura dados com a Estatística;
desenvolve a Química e a Física com a Análise; estuda os percursos rodoviários
e aéreos com a Teoria de grafos; apoia a estrutura das línguas com a Lógica. A
esta matemática que é utilizada fora de si mesma chama-se matemática aplicada.
E milhares de outras subcategorias da matemática podem aplicar-se a
diversos outros saberes (Ap. C). Até a investigação criminal poderia bem ser
considerada um ramo da matemática, como chegou a afirmar Conan Doyle.
Mas muita matemática que se faz atualmente não é imediatamente aplicável,
podendo vir a ser um forte contributo para as teorias de outros
saberes ou a ficar para sempre esquecida.
A matemática é cada vez menos fruto do trabalho isolado de uma pessoa. Mas
antes resulta de um grupo de matemáticos ou das relações profissionais entre
várias pessoas. Ou ainda, é um esforço que pode demorar séculos.
Ao longo da história muitos homens contribuíram significativamente para
o seu desenvolvimento (Ap. B). O trabalho de um foi analisado por outro
matemático e assim sucessivamente até ao presente, sendo muitas vezes melhorado.
Nem sempre o que um matemático faz está correto. Ele também se engana. Não é um
ser superior nem vive em casulos. E quando um erro lhe é apontado, verifica,
reconhece-o e agradece com delicadeza.
Que ferramentas são necessárias para a investigação matemática?
Muitos podem pensar que é suficiente um lápis e muita massa cinzenta. Mas a
matemática não é feita apenas dentro da cabeça. Há muitos utensílios que
auxiliam a sua produção: o compasso desenha circunferências; a régua traça
segmentos de retas; o esquadro desenha ângulos; o transferidor mede a
amplitude de um ângulo; o pantógrafo desenha figuras semelhantes; a calculadora
efetua cálculos; . . . ; o computador representa objetos impossíveis.
Uma ferramenta cada vez mais precioso é o computador. Com ele é agora possível
fazer cálculos que um homem levaria anos a fazer.
Com estes instrumentos, a matemática também pode construir
realidades.
A matemática e os
outros saberes
O conhecimento matemático distingue-se de todos os outros saberes pelo seu
carácter abstrato. As suas definições são fixas e existem num mundo coeso e
imaginário.
Mas os conceitos matemáticos estão intimamente relacionados com a vivência e a
percepção das coisas, originando por vezes algumas "aparentes"
contradições: o zero (0) impõe uma existência de notação para o que
não existe, para o nada; os números negativos demonstram uma contagem
do que não se tem, dos débitos; o infinito (¥ ) é um conceito do que
está para além de tudo, mas é tratado como se fosse um número; etc. As
definições matemáticas existem e têm significado na matemática.
Mas alguém alguma vez desenhou uma reta? Uma esfera? Um quadrado? Não!!
Os conceitos matemáticos são aproximações mais ou menos adequadas à realidade.
Esta é muito mais complexa. E quem aplica a matemática à realidade deverá ter
sensatez e sabedoria. Deste modo, a criação matemática e a sua utilização
depende da sociedade e dos seus valores.
O matemático Hersh afirmou que a abstração é a alma da matemática.
Partindo de algumas ideias ou princípios e tendo por base algumas regras bem
definidas, criam-se novas definições das quais muitas vezes se inferem
propriedades. O alemão Novalis chegou mesmo a afirmar que a matemática pura é
uma religião, porque um conhecimento matemático depois de demonstrado e aceite
pela comunidade cientifica é usado como certo por qualquer um, é coerente e
raramente é posta em causa. No Livro "The Analyst" em 1734, o bispo e
matemático George Berkeley mostrou que a matemática é imperfeita e errónea (o
que permitiu mais tarde que outros matemáticos a tenham desenvolvido). Apesar
de alguns dos seus fundamentos serem postos em causa, como o método de
demonstração de teoremas, a matemática continua a ser a ciência do rigor e da
ordem. E podemos considerar a matemática como o cimento unificador de
todos os saberes.
A matemática na
escola
A matemática que se estuda na escola aplica-se facilmente às necessidades
quotidianas. Isto é obvio até ao 9º ano, mas no ensino secundário parece que
ela não tem tanta utilidade. Mas não é por acaso que se estuda matemática
nas escolas.
Antes
de mais, ela é útil para promover o pensamento estruturado e o raciocínio
rigoroso. Por outro lado, a sociedade evoluiu exigindo cada vez mais
conhecimentos matemáticos a todos os cidadãos. Um arquiteto dirá que a
Matemática é útil para auxiliar a percepção e a criação da beleza; um
engenheiro dirá que é útil para reforçar e aprovar experiências; um físico dirá
que é útil por ser a linguagem da ciência; um político dirá que a Matemática
orienta-o na administração e na implementação de leis; um psicólogo afirmará
que auxilia-o no tratamento estatístico de inquéritos; um matemático mostrará
que um corpo matemático é útil quando for aplicável a outro corpo. A matemática
é um saber necessário a todas as disciplinas e ciências, devido ao seu rigor.
Deste modo se mostra que as outras ciências não se desenvolveriam se a
matemática não existisse e não fosse estudada.
De certa forma todos somos matemáticos e fazemos matemática com
regularidade: fazer as contas das compras; medir uma divisão para pôr alcatifa;
escolher itinerários; relacionar conjuntos de bens; inferir e concluir a partir
de premissas; etc. E confiamos sempre na exatidão dos nossos raciocínios até
prova em contrário.
Podemos considerar que a aprendizagem da matemática nas escolas é paralela
ao desenvolvimento da humanidade. O Homem há 10 mil anos mal sabia contar e
agora calcula a trajetória de um satélite. De modo semelhante, uma criança
aprende a contar com 6 anos e ao longo da sua adolescência vai aprendendo em
pouco tempo aquilo que levou anos e anos a ser inventado. A matemática
conhecida por um aluno do 9º ano impressionaria o rei D. Afonso V e certamente
o convidaria para trabalhar na corte.
Saber matemática
Para saber matemática é indispensável conhecer as suas definições e
saber utilizá-las adequadamente. Ao longo do estudo, cada vez são necessárias
mais definições que utilizam as já conhecidas. Por isso, não saber a tabuada
dificulta ou impossibilita o cálculo das operações com números relativos e
depois prejudicará a resolução de equações e mais tarde o estudo de funções, .
. . A matemática é como um grande arranha-céu: se esqueces das bases podes
perder o prédio todo. As definições da matemática são elementares mas
relacionadas. Enquanto se estuda matemática vai-se conhecendo as definições,
alguns exemplos, observações e finalmente resolvem-se exercícios.
Para saber matemática é necessário estudar, estudar, estudar. É este o segredo
do sucesso.
Vamos explorar algumas definições que traduzem o que acabámos de ver.
Pega num papel e num lápis e faz uns riscos.
Certamente alguns deles são segmentos de reta ou curvas.
Agora desenha uma linha constituída por segmentos de recta unidos cada um a
cada um pelas extremidades. Se uma formiga percorrer esta figura plana e voltar
ao ponto de partida sem precisar de saltar, chamamos-lhe linha poligonal
fechada ou polígono. Se a formiga tiver que saltar uma vez, chamamos-lhe
linha poligonal aberta.
Vamos estudar as linhas poligonais começando pela mais simples.
Desenha dois segmentos de reta unindo duas extremidades. Obténs uma porção de
um ângulo que não forma um polígono. Desenha um polígono constituído por três
segmentos de reta (chamamos-lhe triângulo). E assim sucessivamente,
desenhas um quadrilátero (4 lados), um pentágono (5 lados),
um hexágono (6 lados), etc.
O que podemos descobrir em cada uma destas figuras? Podemos classificar (dar um
nome) o polígono tendo em consideração o comprimento dos lados. Podemos estudar
os seus ângulos. Ou estudar os seus perímetros. Ou as suas áreas. Ou desenhar
segmentos de reta unindo os seus vértices e estudar a nova figura obtida. Ou .
. .
Desta forma vamos conhecendo e tirando conclusões, que podem vir a ser chamadas
de fórmulas, propriedades, teoremas ou apenas exercícios. E assim fazemos
matemática.
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